L4 Product and Quotient Rules - Part 2
Completion requirements
Unit 2A
Derivatives Part 1
Lesson 4: Product and Quotient Rules
The change in area is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math». Based on the diagram,
what is another expression for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»?
The change in the rectangle’s area becomes the sum of the areas of the additional rectangles.
The change in area, with respect to the variable «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» can be found by dividing both sides of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Applying the definition of a derivative (first principles), where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the product rule is as follows.
Relating the product rule back to the area of the diagram, the diagram becomes
The change in the rectangle’s area becomes the sum of the areas of the additional rectangles.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The change in area, with respect to the variable «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» can be found by dividing both sides of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»§#8226;«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
| Recall the change in a function’s value, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#9651;«/mo»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math», with respect to the variable «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» can be found by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». In Lesson 2 this relationship was introduced as the derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math». |
Applying the definition of a derivative (first principles), where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the product rule is as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»v«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»u«/mi»«msup»«mi»v«/mi»«mo»`«/mo»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»v«/mi»«msup»«mi»u«/mi»«mo»`«/mo»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Note: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is a continuous function.
Notice on the diagram that when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#9651;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» the length of the rectangle is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#9651;«/mo»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». |
| The Product Rule
If both «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» are differentiable functions, then the product «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is also differentiable and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mi»g«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Alternative notation: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
In words: The derivative of a product is the first function multiplied by the derivative of the second function plus the derivative of the first function multiplied by the second function.
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