L5 The Chain Rule - Part 2
Completion requirements
Unit 2A
Derivatives Part 1
Lesson 5: The Chain Rule
Can this type of thinking be used to determine the derivative of a composite function?
Note: The chain rule is an extension of the power rule.
| The Chain Rule
If function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«/mstyle»«/math» is differentiable at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» and function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«/mstyle»«/math» is differentiable at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», then the composition of functions, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», is differentiable at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Alternative notation: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
For this alternative notation, the derivative must be interpreted as a rate of change. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is the rate of change of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is the rate of change of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math», and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is the rate of change with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math» with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». In words: Differentiate the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«/mstyle»«/math» (at the inside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math»), and then multiply by the derivative of the inside function.
|
Note: The chain rule is an extension of the power rule.
Differentiate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»9«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note: This function could be expanded by multiplying the nine factors of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
together. However, this would take a long time and the potential for algebraic error is huge!
Consider using the chain rule by identifying an outside function and an inside function. [ Chart Optional ]
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
Consider using the chain rule by identifying an outside function and an inside function. [ Chart Optional ]
| Function | Derivative | |
| Outside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»9«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| Inside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»27«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| The inside function stays the same while the outside function’s derivative is determined. |
Differentiate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»9«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in place of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math».
The derivative is the same regardless of which of the two methods are used.
The function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»9«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
could be differentiated using «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math» substitution.
Recall the chain rule expressed as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is read as the
derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math» with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
The notation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is used because the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math» is being found with respect to the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-variable in the function. |
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»9«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
| The notation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is used because the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» is being found with respect to the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math»-variable in the function. |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«mo
mathvariant=¨italic¨»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»27«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» in place of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»27«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The derivative is the same regardless of which of the two methods are used.