L5 The Chain Rule - Practice 1
Completion requirements
Unit 2A
Derivatives Part 1
Lesson 5: The Chain Rule
Practice
Once you feel confident with the chain rule, click on the Practice tab and complete problem 1. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Using the chain rule, find the derivative of each function.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»89«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mroot»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
1.
Using the chain rule, find the derivative of each function. [ All Charts Optional ]
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»89«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mroot»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Applying the chain rule, in words, results in:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function same «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
| Function | Derivative | |
| Outside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| Inside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» |
Applying the chain rule, in words, results in:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function same «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Differentiate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo
mathvariant=¨italic¨»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»89«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
| Function | Derivative | |
| Outside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»89«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»89«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»88«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| Inside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»89«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mn»88«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»89«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»88«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»89«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»88«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Differentiate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»89«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»89«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»89«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»88«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»89«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»89«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»88«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»89«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»88«/mn»«/msup»«mo
mathvariant=¨italic¨»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»89«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»u«/mi»«mn»88«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»89«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»88«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
| Function | Derivative | |
| Outside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» |
| Inside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»35«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»35«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Differentiate the following function.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»7«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»35«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»35«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»35«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
| Function | Derivative | |
| Outside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| Inside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Differentiate the following function.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo
mathvariant=¨italic¨»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mroot»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
| Function | Derivative | |
| Outside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» |
| Inside Function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Differentiate the following function.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mroot»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»