Unit 2A

Derivatives Part 1

Lesson 5: The Chain Rule

As the previous Example and Practice problems have demonstrated, applying combinations of derivative rules is often necessary to find the derivative of a function. The next Example will show the power rule, chain rule, and quotient rule being applied to find the derivative of a function.

Example 4

Solution

To find the derivative, try using «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math» substitution.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math». To find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», apply the quotient rule.

Set up a chart to help find the derivative.

Function	Derivative
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»	«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math»	«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math»

If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Apply the chain rule.

Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» in place of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»u«/mi»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»30«/mn»«msup»«mi»u«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»30«/mn»«msup»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»30«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»30«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»30«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Alternative Solution

Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Applying the chain rule, in words, results in:

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfrac»«mrow»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mfrac»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»30«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

To find the derivative of the inside function, the quotient rule must be applied.