L1 Higher Order Derivatives - Practice 1
Completion requirements
Unit 2B
Derivatives Part 2
Lesson 1: Higher Order Derivatives
Practice
Once you feel confident with higher order derivatives, click on the Practice tab and complete problems 1 to 4. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
1.
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»f«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» if «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Given «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mstyle»«/math».
3.
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mstyle»«/math» if «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
4.
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
1.
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»f«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» if «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Based on the notation, the fourth derivative needs to be found. Using the power rule, find the first four derivatives.
The fourth derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»f«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»``«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»24«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»```«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»f«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The fourth derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»f«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Given «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mstyle»«/math».
To find the first derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mstyle»«/math», use the chain
rule.
To find the second derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», use the chain rule again.
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the second derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math»derivative
of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of inside function
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To find the second derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», use the chain rule again.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«/mstyle»«/math»derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of inside function
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»120«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the second derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»120«/mn»«msup»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»120«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
3.
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mstyle»«/math» if «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the first derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», use the product rule.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
To find the second derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», use the product rule.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the second derivative function.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
| Function | Derivative |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To find the second derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math», use the product rule.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
| Function | Derivative |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math»
|
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»45«/mn»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»18«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»60«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the second derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»``«/mo»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
4.
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» if
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the first derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», use the quotient rule.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
To find the second derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», use the chain rule.
Rewrite the first derivative as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The second derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»44«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the third derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», use the chain rule.
Rewrite the second derivative as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»44«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The third derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»264«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
| Function | Derivative |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»)(«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To find the second derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», use the chain rule.
Rewrite the first derivative as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»derivative
of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of inside function
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»11«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»44«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»44«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The second derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»44«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the third derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», use the chain rule.
Rewrite the second derivative as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»44«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»derivative
of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of inside function
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»44«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»264«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»264«/mn»«/mrow»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Be sure to express final answers with positive exponents only. Intermediate steps, such as for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math», above, negative exponents are sufficient. |