Unit 2B

Derivatives Part 2

Lesson 2: Implicit Differentiation

In the video, the chain rule was applied to each term.

To look at this idea more closely, apply the chain rule to find the derivative with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of inside function

Note: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»

To find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», apply the chain rule.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of inside function

The notation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is used because the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» is being determined with respect to the variable «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».

Example 1

Determine «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Solution

Differentiate both sides of the relation with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», and then solve the derived relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»6«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»6«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«/mtd»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

To solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» in the relation, factor out the common term «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

Remove a common factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» from all terms.

For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», the derivative is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Example 2

Find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».

Solution

Differentiate both side of the relation with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», and then solve the derived relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Rearrange the terms so all terms containing «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» are on the same side of the equal sign. Then, factor and solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».

The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».