L2 Implicit Differentiation - Part 4
Completion requirements
Unit 2B
Derivatives Part 2
Lesson 2:
Implicit Differentiation
Implicit differentiation can also be used when finding the second or third derivative of a relation.
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»``«/mo»«/mstyle»«/math» if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the first derivative, differentiate both side of the relation with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», and solve the derived
relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mstyle»«/math».
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» is a product, the product rule must be used to find the derivative.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
To find the second derivative, apply the quotient rule.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
The second derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»``«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» is a product, the product rule must be used to find the derivative.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
| Function | Derivative |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»y«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| The derivative of a constant is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
Note both «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» represent the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». |
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to help find the derivative.
| Function | Derivative |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»``«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»)(«/mi»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The second derivative contains a term with the first derivative, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«/mstyle»«/math». Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»y«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» into the equation of the second derivative.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»``«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathcolor=¨#FF0000¨»y«/mi»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»`«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mi»y«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mi»y«/mi»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»(«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| To subtract fractions, find a common denominator.
Collect like terms and factor. |
Watch the video Implicit Differentiation-Introduction Examples Part 2 for an additional example demonstrating the process of substituting the first derivative into the equation for the second derivative.