Unit 2B

Derivatives Part 2

Lesson 3: Finding Tangent Lines Along Curves

Watch the video Implicit Differentiation-Introduction Examples Part 3 for a demonstration of how to find a derivative by implicit differentiation and then apply that derivative to find the equation of a tangent line.


Find the equations of the tangent lines to the circle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»169«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» at the points «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». At what point do the two tangent lines intersect? A graph of the relation and the tangent lines are shown.




Using implicit differentiation, find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»169«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»169«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Find the slope of the curve at point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The equation of the tangent line at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»12«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is as follows.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»m«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»144«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»144«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»169«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Find the slope of the curve at point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The equation of the tangent line at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is as follows.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»m«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»144«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»144«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»169«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

In order to find the point of intersection of the tangent lines, solve the system of the two tangent line equations.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mstack charalign=¨center¨ stackalign=¨right¨»«msrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»169«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/msrow»«msrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»-«/mo»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»169«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/msrow»«msline»«/msline»«msrow»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»338«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/msrow»«/mstack»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»338«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨»«/mspace»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»33«/mn»«mo».«/mo»«mn»8«/mn»«/mstyle»«/math»

Using either tangent line equation, solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»169«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»33«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»8«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»169«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»169«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»169«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The tangent lines intersect at the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»33«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»8«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».