L1 Symmetry and Asymptotes - Part 6
Completion requirements
Unit 3
Curve Sketching
Lesson 1: Symmetry and Asymptotes
- Horizontal Asymptote
Note that for a rational function of the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»Q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», where the degree of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is less than or equal to the degree of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», a horizontal asymptote will occur, as shown in the Example below.
Of course, a function need not be rational for its graph to have a horizontal asymptote.
Determine the equation of the horizontal asymptote on the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Recall from Unit 1B Lesson 4 Part 2 that limits to infinity can be evaluated by dividing all terms by the highest degree variable in the denominator. In this case, divide all terms by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
The horizontal asymptote is at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» also has two vertical asymptotes.
The function cannot be simplified once factored. But, since the denominator «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be factored to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»)(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», it can be seen there will be vertical asymptotes at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». A graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below.
Recall from Unit 1B Lesson 4 Part 2 that limits to infinity can be evaluated by dividing all terms by the highest degree variable in the denominator. In this case, divide all terms by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».
|
Note the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» also has two vertical asymptotes.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The function cannot be simplified once factored. But, since the denominator «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be factored to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»)(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», it can be seen there will be vertical asymptotes at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». A graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below.
If you looked closely at the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» shown above, you might have noticed the curve passes through the horizontal asymptote at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». Unlike vertical asymptotes, which curves never touch or cross, horizontal asymptotes are defined by the behaviour of functions as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» approaches positive and negative infinity. As such, curves sometimes cross horizontal asymptotes at values closer to the origin.