L1 Symmetry and Asymptotes - Part 8
Completion requirements
Unit 3
Curve Sketching
Lesson 1: Symmetry and Asymptotes
- Oblique Asymptotes
Note that for a rational function of the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»Q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», where the degree of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»P«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is one more than the degree of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», an oblique asymptote will occur, as shown in the Example below. If a function has an oblique asymptote, it will not have a horizontal asymptote.
Determine the equations of the asymptotes for the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
the denominator cannot equal zero.
A vertical asymptote will occur at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a rational function, determine if either a horizontal or oblique asymptote will occur.
Since the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator, an oblique asymptote will occur.
Once it has been determined that the graph of a function contains an oblique asymptote, the equation of the oblique asymptote can be found using either long division or synthetic division.
Long Division: Use long division with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as the divisor.
Synthetic Division: Use synthetic division with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» as the divisor.
From either division method, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be rewritten in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» (this is in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»fractional«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»part«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»). Since the fractional part «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math», the oblique asymptote will simply be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» («math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»).
The graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» has asymptotes at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and is shown below.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
A vertical asymptote will occur at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is a rational function, determine if either a horizontal or oblique asymptote will occur.
Since the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator, an oblique asymptote will occur.
Once it has been determined that the graph of a function contains an oblique asymptote, the equation of the oblique asymptote can be found using either long division or synthetic division.
Long Division: Use long division with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as the divisor.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨2px¨ stackalign=¨left¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«msgroup»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/msrow»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«none/»«none/»«none/»«/msrow»«msline
length=¨4¨/»«msrow»«none/»«none/»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/msrow»«msrow»«none/»«none/»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/msrow»«msline length=¨4¨ position=¨2¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»1«/mn»«/msrow»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mstyle»«/math»
Synthetic Division: Use synthetic division with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» as the divisor.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mlongdiv longdivstyle=¨shortstackedrightright¨ charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mtable columnalign=¨center
center center¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8595;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«menclose
notation=¨box¨»«mn»1«/mn»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«msgroup»«mtable»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mstyle»«/math»
From either division method, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be rewritten in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» (this is in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»fractional«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»part«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»). Since the fractional part «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math», the oblique asymptote will simply be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» («math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»).
The graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» has asymptotes at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», and is shown below.
Skill Builder
For more information on Polynomial Division (Long Division and Synthetic Division), click the Skill Builder button to access the Skill Builder page.