L1 Symmetry and Asymptotes - Part 9
Completion requirements
Unit 3
Curve Sketching
Lesson 1: Symmetry and Asymptotes
For the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
determine the equations of any asymptotes.
Vertical asymptote: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», by inspection
Horizontal asymptote: None
Oblique asymptote: Since the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator, an oblique asymptote will occur.
From either division method, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»6«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The function can be rewritten in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»6«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math». The oblique asymptote must be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» because the fractional part «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below.
Horizontal asymptote: None
Oblique asymptote: Since the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator, an oblique asymptote will occur.
Long Division:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mlongdiv charalign=¨center¨ charspacing=¨2px¨ stackalign=¨left¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«mrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«msgroup»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/msrow»«msrow»«mi»x«/mi»«sup»«mn»2«/mn»«/sup»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«none/»«none/»«/msrow»«msline length=¨5¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/msrow»«msrow»«none/»«none/»«none/»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/msrow»«msline length=¨4¨ position=¨3¨/»«msrow»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«none/»«mn»6«/mn»«/msrow»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mstyle»«/math»
Synthetic Division:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mlongdiv longdivstyle=¨shortstackedrightright¨ charalign=¨center¨ charspacing=¨0px¨ stackalign=¨left¨»«mtable columnalign=¨center
center center¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8595;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«mtable»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«menclose
notation=¨box¨»«mn»6«/mn»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«msgroup»«mtable»«mtr»«mtd»«mtable»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/msgroup»«/mlongdiv»«/mstyle»«/math»
The function can be rewritten in the form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»6«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math». The oblique asymptote must be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» because the fractional part «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below.