L3 Maximum and Minimum Values - Part 4
Completion requirements
Unit 3
Curve Sketching
Lesson 3: Maximum and Minimum Values
Using the diagram provided, complete the table below.
| Characteristic | Points | |
| a. | local (relative) minimum | |
| b. | local (relative) maximum
|
|
| c. | absolute minimum | |
| d. | absolute maximum | |
| e. | critical points |
| Characteristic | Points | |
| a. | local (relative) minimum | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»B«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»D«/mi»«/mstyle»«/math» |
| b. | local (relative) maximum
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»C«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»E«/mi»«/mstyle»«/math»
|
| c. | absolute minimum | none |
| d. | absolute maximum | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»E«/mi»«/mstyle»«/math» |
| e. | critical points | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»B«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»C«/mi»«/mstyle»«/math»,
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»D«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»E«/mi»«/mstyle»«/math»,
and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»F«/mi»«/mstyle»«/math»
|
State the local maximum and local minimum values for the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find the derivative and the critical point(s).
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the critical points into the original function to determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates.
The local maximum and local minimum can be identified by first finding the function’s intervals of increase and decrease. As demonstrated in Lesson 2, sign analysis can be used to determine these intervals.
The function is increasing on the intervals «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». The function is decreasing on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Since the function changes from increasing to decreasing at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», a maximum occurs.
And, since the function changes from decreasing to increasing at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», a minimum occurs.
A local maximum occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»50«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
A local minimum occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»74«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below. Notice the critical points, the intervals of increase and decrease, and the local maximum and minimum points. There are no absolute maximum or minimum values since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi»)(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the critical points into the original function to determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»21«/mn»«mo»+«/mo»«mn»45«/mn»«mo»+«/mo»«mn»27«/mn»«/mrow»«mn»27«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»50«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»125«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»175«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»25«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»74«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The local maximum and local minimum can be identified by first finding the function’s intervals of increase and decrease. As demonstrated in Lesson 2, sign analysis can be used to determine these intervals.
The function is increasing on the intervals «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». The function is decreasing on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Since the function changes from increasing to decreasing at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», a maximum occurs.
And, since the function changes from decreasing to increasing at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», a minimum occurs.
A local maximum occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mn»50«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
A local minimum occurs at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»74«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
The graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»7«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below. Notice the critical points, the intervals of increase and decrease, and the local maximum and minimum points. There are no absolute maximum or minimum values since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find the absolute maximum and absolute minimum values for the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Find the derivative and the critical point(s).
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the critical points into the original function to determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates.
Because the given function also has defined endpoints, the function values at the endpoints must be tested for the existence of absolute extrema.
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the endpoints into the original function to determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates.
Based on the coordinates of the critical points and the endpoints, there is an absolute maximum and a local maximum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»69«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and there is an absolute minimum and a local minimum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»56«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note: Finding the intervals of increase and decrease using a chart or sign analysis can confirm where a graph’s slope changes sign.
The graph below shows the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»)(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the critical points into the original function to determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»54«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»108«/mn»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»56«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mo»+«/mo»«mn»72«/mn»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»69«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Because the given function also has defined endpoints, the function values at the endpoints must be tested for the existence of absolute extrema.
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the endpoints into the original function to determine the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»54«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«mo»+«/mo»«mn»108«/mn»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»52«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»128«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»48«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»144«/mn»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»39«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Based on the coordinates of the critical points and the endpoints, there is an absolute maximum and a local maximum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»69«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and there is an absolute minimum and a local minimum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»56«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Note: Finding the intervals of increase and decrease using a chart or sign analysis can confirm where a graph’s slope changes sign.
The graph below shows the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».