L2 Trigonometric Identities - Part 2
Completion requirements
Unit 4A
Trigonometry Part 1
Lesson 2: Trigonometric Identities
Reciprocal and Quotient Identities
The reciprocal identities are as follows.| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center center center center right center left center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»csc«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»csc«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» |
The quotient identities are as follows.
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» |
The reciprocal and quotient identifies allow «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»csc«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mspace width=¨0.125em¨/»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» to be written in terms of sine and cosine.
Simplify «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Substitute equivalent expressions for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» simplifies to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/menclose»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/menclose»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«menclose
notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» simplifies to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Simplify the expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Use the reciprocal and quotient identities to rewrite each ratio in terms of only sine and cosine, and then simplify.
The expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» simplifies to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mrow»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» simplifies to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».