Unit 4A

Trigonometry Part 1

Lesson 2: Trigonometric Identities

Practice

Once you feel confident with reciprocal, quotient, and Pythagorean identities, click on the Practice tab and complete problem 1. Check your answers by going to the Solutions tab.

Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers. Click here to download the formula sheet.

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1.
Simplify the following expressions.

a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»

b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»csc«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»

e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

f.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»
1.
Simplify the following expressions.

a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»

b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»csc«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»

e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

f.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math»

a.
Substitute equivalent expressions for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi»cot«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/menclose»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/menclose»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/menclose»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8729;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»  
Steps to simplify this expression:

  1. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» with a reciprocal identity.
  2. Find a common denominator.
  3. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» using a Pythagorean identity.
  4. Simplify using a quotient identity.

c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»csc«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»  
Steps to simplify this expression:

  1. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»csc«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mstyle»«/math» with a reciprocal identity.
  2. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«/mstyle»«/math» with a quotient identity.
  3. Multiply the numerator of the expression by the reciprocal of the denominator.
  4. Simplify using a quotient identity.

d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»  
Steps to simplify this expression:

  1. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» with a reciprocal identity.
  2. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»c«/mi»«msup»«mi»ot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» with a quotient identity.
  3. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» with a Pythagorean identity.
  4. Simplify.

e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo»+«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8729;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo»+«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8729;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8729;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo»+«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»  
Steps to simplify this expression:

  1. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» with reciprocal identities.
  2. Find common denominators to add fractions.
  3. Multiply the numerator of the expression by the reciprocal of the denominator.
  4. Reduce common factors.
  5. Use a reciprocal identity to simplify.

f.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/menclose»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/menclose»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»  
Steps to simplify this expression:

  1. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mstyle»«/math» with a reciprocal identity and replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» with a Pythagorean identity.
  2. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#945;«/mo»«/mstyle»«/math» with a quotient identity.
  3. Multiply the numerator of the expression by the reciprocal of the denominator.
  4. Reduce common factors.
  5. Use a reciprocal identity to simplify.