Unit 4A

Trigonometry Part 1

Lesson 2: Trigonometric Identities

Sum and Difference Identities

The sum and difference identities are as follows.

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#946;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#946;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#946;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Example 4

Write «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» as a single trigonometric ratio.

Solution

The expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» has the same form as the right side of the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#945;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#946;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» identity.

Example 5

Determine the exact value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»13«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Solution

Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mn»13«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is not an angle on the unit circle, use either a sum or difference identity for cosine with two special angles that are on the unit circle.

For example, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»13«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»or«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mfrac»«mrow»«mn»13«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»13«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»12«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mo»§#8722;«/mo»«msqrt»«mn»6«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Note: Using «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»-«/mo»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» would result in the same solution.