Unit 4A

Trigonometry Part 1

Lesson 2: Trigonometric Identities

Practice

Once you feel confident with proving identities, click on the Practice tab and complete problems 1 to 3. Check your answers by going to the Solutions tab.

Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers. Click here to download the formula sheet.

Download File  
1.
Verify the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» numerically using «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

2.
Prove the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an identity for all permissible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».

3.
Prove the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an identity for all permissible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
1.
Verify the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» numerically using «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Set up a chart to see if the left side of the equation is equal to the right side of the equation when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».

Left Side
Right Side
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«mi»sec«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8729;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8729;«/mo»«mfrac mathcolor=¨#FF0000¨»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

The left side equals the right side, so the equation has been verified for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math». This results means the given equation is a potential identity.
2.
Prove the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an identity for all permissible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».

Left Side
Right Side
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨center left¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math» 
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»=«/mo»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
 
Start with the left side.

  1. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» with double angle identities.
  2. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» with a Pythagorean identity.
  3. Reduce like terms and simplify.

The left side equals the right side, so the identity has been proven.
3.
Prove the equation «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an identity for all permissible values of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».


Left Side
Right Side
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨center left¨»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Start with the left side.

  1. Factor «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»-«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» as a difference of squares.
  2. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»-«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» with a Pythagorean identity.
  3. Replace «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» with a Pythagorean identity.
  4. Collect like terms and simplify.

The left side equals the right side, so the identity has been proven.