Unit 4B

Trigonometry Part 2

Lesson 1: Limits of Trigonometric Functions

In this Lesson, the Squeeze Theorem will be used to prove an important limit. The following applet explores the basic idea of the squeeze theorem.

Interactive

Click the interactive button to open the Squeeze Theorem applet.
The areas of triangle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mi»B«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», Sector «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»A«/mi»«mi»B«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», and Triangle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«mi»D«/mi»«mi»C«/mi»«/mstyle»«/math» are calculated by the applet and shown.

Which area is always the largest? Which area is always the smallest?
Explore moving point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»B«/mi»«/mstyle»«/math». Does the position of point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»B«/mi»«/mstyle»«/math» change the relationship between the three areas?

Move point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»B«/mi»«/mstyle»«/math» such that angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». Describe what happens to the three areas as angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»A«/mi»«/mstyle»«/math» approaches «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math».

The following exploration of two simple trigonometric limits will help with the evaluation of more complex trigonometric limits.

The sine graph «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below.

Use the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» to find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»

Since the limit from the left is the same as the limit from the right, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».

The cosine graph «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is shown below.

Use the graph of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» to find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».

«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«/msup»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»