Unit 4B

Trigonometry Part 2

Lesson 1: Limits of Trigonometric Functions

Two Special Trigonometric Limits

1. «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mo»§#952;«/mo»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
   

The Squeeze Theorem, introduced in the Applet at the beginning of this Lesson, will assist in the proof of this limit.

Proof:

Use a circle of radius «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», draw a right triangle. Then, draw a vertical line through «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Extend the arm of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» so it intersects this new line. Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» be the point of intersection of the terminal arm of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» and the vertical line, and let the distance between the points «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»z«/mi»«/mstyle»«/math».


A new triangle is formed that is similar to the one with legs «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math», so

This means the length «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»z«/mi»«/mstyle»«/math» is equal to the tangent of angle «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math», and therefore «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»Q«/mi»«mfenced»«mo»§#952;«/mo»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».