L1 Limits of Trigonometric Functions - Part 3
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 1: Limits of Trigonometric Functions
The following three diagrams show a sector squeezed between two triangles.
Then, rewrite the inequality expression as follows.
Now, find the limits.
Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is between «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», it must also approach «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», that is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The same argument is true for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mo»§#952;«/mo»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mo»§#952;«/mo»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The algebraic proof of this limit is as follows.
A similar proof yields the same result for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Multiply each expression by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Next, take the reciprocal of each term, and reverse each inequality to account for the change in each value that comes from the taking the reciprocals.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#952;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mspace width=¨0.125em¨/»«mo»§#8804;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»§#8804;«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#952;«/mo»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Next, take the reciprocal of each term, and reverse each inequality to account for the change in each value that comes from the taking the reciprocals.
| Note: The area of a sector is calculated as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»A«/mi»«mi»sector«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» is in radians. In this particular situation, the radius is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»A«/mi»«mi»sector«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#952;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Then, rewrite the inequality expression as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
| Recall if three positive numbers are given as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#60;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» are replaced by their reciprocals, the inequalities are reversed, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math». |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#60;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#60;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mstyle»«/math» is between «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», it must also approach «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», that is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The same argument is true for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mo»§#952;«/mo»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
So, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mo»§#952;«/mo»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
- «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The algebraic proof of this limit is as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»0«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Skills needed for this proof:
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| Summary of Special Trigonometric Limits
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