L1 Limits of Trigonometric Functions - Part 4
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 1: Limits of Trigonometric Functions
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Applying the rule «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»k«/mi»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
the limit can be rewritten as follows.
Therefore «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
|
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
compare it to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Multiply numerator and the denominator of the expression on the right by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» to obtain the necessary denominator.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Multiply numerator and the denominator of the expression on the right by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math» to obtain the necessary denominator.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall multiplying an expression by a factor of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mstyle»«/math», does not change the value of the expression. |
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Rewrite «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
in a form that enables a comparison with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»§#952;«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»§#952;«/mi»«/mrow»«mi»§#952;«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».