L1 Limits of Trigonometric Functions - Part 5
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 1: Limits of Trigonometric Functions
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the limit property «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», to rewrite «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
in a form that enables a comparison with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». |
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Rewrite «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
in a form that enables a comparison with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
using a Pythagorean identity.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».