L1 Limits of Trigonometric Functions - Practice 1
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 1: Limits of Trigonometric Functions
Practice
Once you feel confident with trigonometric limits, click on the Practice tab and complete problem 1. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Evaluate the following limits.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
1.
Evaluate the following limits.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
To evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/math», compare it to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Multiply the numerator and denominator of the expression on the right by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» to obtain the necessary denominator.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
As «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Multiply the numerator and denominator of the expression on the right by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math» to obtain the necessary denominator.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
b.
Use the limit property «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», to rewrite «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
in a form that enables a comparison with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»1«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»5«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
c.
Rewrite «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», using a reciprocal identity, so «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be compared
to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
|
d.
Applying the rule «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»k«/mi»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»k«/mi»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», the limit can be rewritten as follows.
Note- the above limit is NOT on your formula sheet. To show, convert to sine and cosine.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mo»§#952;«/mo»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall from the video «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math».
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