L2 Limits of Complex Trigonometric Expressions - Part 1
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 2: Limits of Complex Trigonometric Expressions
Some trigonometric limits involve complex expressions. When this type of limit is encountered, some simplification or other algebraic manipulation may be required. However, direct substitution should always be considered because an expression that appears
complicated does not always correspond to a complicated limit.
Unlike the limits seen in Lesson 1, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» consistently approached zero, this Lesson contains examples of limits where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» will approach a variety of values.
Unlike the limits seen in Lesson 1, where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» consistently approached zero, this Lesson contains examples of limits where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#952;«/mo»«/mstyle»«/math» will approach a variety of values.
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Using direct substitution of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» would result in a denominator of zero.
The expression must be algebraically manipulated using limit theorems to model «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»9«/mn»«mn»16«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». |
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the limit property «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨
close=¨]¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
to evaluate this limit.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the limit property «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mfenced open=¨[¨
close=¨]¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
to evaluate this limit.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#960;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the limit property «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»c«/mi»«/mrow»«/munder»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
to evaluate this limit.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mstyle
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