L2 Limits of Complex Trigonometric Expressions - Part 2
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 2: Limits of Complex Trigonometric Expressions
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Direct substitution will result in the indeterminate form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math». Use a trigonometric identity and limit
theorems to evaluate this limit.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use limit theorems and direct substitution.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Evaluate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Direct substitution will result in the indeterminate form «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/math», as shown below. Use a trigonometric
identity and limit theorems to evaluate this limit.
Use a trigonometric identity and limit theorems to evaluate this limit.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»1«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»0«/mn»«mn»0«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Use a trigonometric identity and limit theorems to evaluate this limit.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi»sinx«/mi»«mi»cosx«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»1«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»x«/mi»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Examples 1 to 7 demonstrated some strategies that can be used to evaluate trigonometric limits. The following is a list of some strategies to consider when evaluating trigonometric limits.
- check to see if direct substitution will work,
- use trigonometric identities to rewrite the expressions in the limit,
- algebraically manipulate the expressions to model «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
- multiply the expression by the conjugate of the numerator or denominator, or
- apply limit properties to make the limit easier to work with.