L2 Limits of Complex Trigonometric Expressions - Practice 1
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 2: Limits of Complex Trigonometric Expressions
Practice
Once you feel confident with finding the limits of complex trigonometric expressions, click on the Practice tab and complete problem 1. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
1.
Evaluate the following limits.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
f.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
1.
Evaluate the following limits.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
f.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use a trigonometric identity and limit theorems to evaluate this limit.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use a trigonometric identity and limit theorems to evaluate this limit.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/munder»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use direct substitution and evaluate.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use direct substitution and evaluate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use direct substitution and evaluate.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use direct substitution and evaluate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Multiply the expression by the conjugate.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Multiply the expression by the conjugate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use trigonometric identities to evaluate this limit.
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use trigonometric identities to evaluate this limit.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mfenced»«mstyle
displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi»sinx«/mi»«mi»cosx«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
f.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use trigonometric identities to evaluate this limit.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced»«mrow»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo»§#8722;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use trigonometric identities to evaluate this limit.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced»«mrow»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«mo»§#8722;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Therefore, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/munder»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mo»§#952;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«mrow»«mi»sec«/mi»«mo»§#952;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».