L4 Derivatives of Complex Trigonometric Functions and Relations - Part 2
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 4: Derivatives of Complex Trigonometric Functions and Relations
Find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Rewrite the function as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», then use the chain rule to find the derivative.
Consider using the chain rule by identifying an outside function and an inside function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
derivative of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msqrt»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Consider using the chain rule by identifying an outside function and an inside function.
| Function | Derivative | |
| Outside function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Inside function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» |
| To find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», the chain rule must be applied. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mi»tan«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msqrt»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msqrt»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/msqrt»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math» if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule twice.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», apply the chain rule.
Apply the chain rule again.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»36«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math». Then, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»sec«/mi»«mi»u«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»u«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»u«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Apply the chain rule again.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»u«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»u«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»36«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»u«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»36«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»36«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».