L4 Derivatives of Complex Trigonometric Functions and Relations - Practice 1
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 4: Derivatives of Complex Trigonometric Functions and Relations
Practice
Once you feel confident with derivatives of complex trigonometric functions, click on the Practice tab and complete problem 1. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Find the derivative of each of the following functions, and then simplify.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»csc«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
1.
Find the derivative of each of the following functions, and then simplify.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mi
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d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»csc«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use the quotient rule to find the derivative.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the quotient rule to find the derivative.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«msup»«mfenced»«mfrac»«mi»f«/mi»«mi»g«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mspace/»«/msup»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»g«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»)(«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»)(«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use the chain rule to find the derivative.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the chain rule to find the derivative.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»9«/mn»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Use the Pythagorean identity «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» to simplify. |
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use the quotient and chain rules to find the derivative.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the quotient and chain rules to find the derivative.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»)(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi»))«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»csc«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Use the chain and quotient rules to find the derivative.
Rewrite the function as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»csc«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»csc«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the chain and quotient rules to find the derivative.
Rewrite the function as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»csc«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi»)(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi»)(«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi»))«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»sin«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»csc«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msqrt»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»csc«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»sin«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Rewrite the function as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»csc«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», and use the chain rule to find the derivative.
Consider using the chain rule by identifying an outside function and an inside function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»derivative
of the outside function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»§#8729;«/mo»«/mstyle»«/math» derivative of the inside function
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Rewrite the function as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»csc«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math», and use the chain rule to find the derivative.
Consider using the chain rule by identifying an outside function and an inside function.
| Function | Derivative | |
| Outside function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»f«/mi»«mo»`«/mo»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
| Inside function
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»csc«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| To find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»csc«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», the chain rule must be applied. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mo»§#160;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»s«/mi»«mi»c«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»csc«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mi»cot«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».