L4 Derivatives of Complex Trigonometric Functions and Relations - Practice 2
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 4: Derivatives of Complex Trigonometric Functions and Relations
Practice
Once you feel confident with implicit differentiation of trigonometric relations, click on the Practice tab and complete problem 1. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
1.
Use implicit differentiation to find the derivatives of each of the following relations, with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», and then
simplify.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
1.
Use implicit differentiation to find the derivatives of each of the following relations, with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»,
and then simplify.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Find the derivative, with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». Then, solve the derived relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math». Note the product rule will need to be applied.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find the derivative, with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». Then, solve the derived relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math». Note the product rule will need to be applied.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Find the derivative, with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». Then, solve the derived relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find the derivative, with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». Then, solve the derived relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨
close=¨]¨»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»tan«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
|
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Find the derivative, with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». Then, solve the derived relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math».
Find the derivative, with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math». Then, solve the derived relation for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mo»-«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»sin«/mi»«mi»y«/mi»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math».