L5 Curve Sketching and Trigonometric Curves and Their Tangents - Practice 1
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 5: Curve Sketching and Trigonometric Curves and Their Tangents
Practice
Once you feel confident with curve sketching of trigonometric functions, click on the Practice tab and complete problem 1. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
1.
Follow the Steps to Successful Curve Sketching to sketch the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
1.
Follow the Steps to Successful Curve Sketching to sketch the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨
close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Step 1:
Domain: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨}¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»|«/mi»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»R«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» or «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Step 2:
Intercepts: Find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept.
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Step 3:
Asymptotes: Check for any discontinuities in the trigonometric function.
The given function is continuous on the given interval. There are no asymptotes.
The given function is continuous on the given interval. There are no asymptotes.
Step 4:
Symmetry: Test to see if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» or if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8800;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
there is no symmetry.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»§#8800;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Note: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
Step 5:
Intervals of Increase and Decrease: Find the first derivative and the critical point(s).
The function is increasing where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Knowledge of the graph of the sine function or the unit circle can make this inequality easy to solve without test points. For all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» everywhere on the given interval except where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, the function is increasing on «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math». There is a critical point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The function is increasing where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#62;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Knowledge of the graph of the sine function or the unit circle can make this inequality easy to solve without test points. For all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» everywhere on the given interval except where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math», since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». As such, the function is increasing on «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math». There is a critical point at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Step 6:
Local Extrema: Using the critical points and the intervals of increase and decrease obtained from the first derivative, find the local extrema.
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the critical point into the original function to find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate.
The critical point is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». However, since the function is increasing on «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», there are no local extrema.
Because the given function also has defined endpoints, the function values at the endpoints must be tested for the existence of absolute extrema.
Based on the coordinates of the endpoints, there is an absolute maximum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and there is an absolute minimum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate of the critical point into the original function to find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinate.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The critical point is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». However, since the function is increasing on «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math», there are no local extrema.
Because the given function also has defined endpoints, the function values at the endpoints must be tested for the existence of absolute extrema.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Based on the coordinates of the endpoints, there is an absolute maximum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» and there is an absolute minimum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Step 7:
Concavity and possible inflection point(s): Use the second derivative to find possible inflection points and intervals of concavity.
The only possible inflection points are at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the possible inflection points, substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates into the original function.
The possible inflection points are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Use the possible inflection points to find the intervals of concavity. Recall the sign analysis method could also be used to find the intervals.
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Set up a chart to summarize the information found.
The curve is concave down on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The curve is concave up on the intervals «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8746;«/mo»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Since there was a change in concavity at each of the possible inflection points, and the function is continuous, both points are considered inflection points. Therefore, the inflection points are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi
mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The only possible inflection points are at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates of the possible inflection points, substitute the «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math»-coordinates into the original function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The possible inflection points are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Use the possible inflection points to find the intervals of concavity. Recall the sign analysis method could also be used to find the intervals.
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»,
use «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mfenced»«mo»§#960;«/mo»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mo»§#960;«/mo»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mfenced»«mo»§#960;«/mo»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mo»§#960;«/mo»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Set up a chart to summarize the information found.
| Possible Inflection Point |
|
||
| Intervals | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#60;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Sign of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»+«/mo»«/mstyle»«/math» |
| Behaviour of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math» | concave up | concave down | concave up |
The curve is concave down on the interval «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». The curve is concave up on the intervals «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8746;«/mo»«/math» «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math». Since there was a change in concavity at each of the possible inflection points, and the function is continuous, both points are considered inflection points. Therefore, the inflection points are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Step 8:
Sketch: Using the information obtained in Steps 1 to 7, sketch the graph of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
| Summary | |
| domain | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math»-intercept | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| asymptotes | none |
| symmetry | none |
| intervals of increase and decrease and critical points | increasing: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8746;«/mo»«mfenced
close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
CP: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
| local and absolute extrema | no local extrema
absolute max: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» absolute min: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| concavity and inflection points
|
down: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math»
up: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced open=¨[¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» IP: «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
Click
here to view the completed graph.
