L5 Curve Sketching and Trigonometric Curves and Their Tangents - Practice 2
Completion requirements
Unit 4B
Trigonometry Part 2
Lesson 5: Curve Sketching and Trigonometric Curves and Their Tangents
Practice
Once you feel confident with finding the equations of lines tangent to trigonometric curves, click on the Practice tab and complete problems 1 and 2. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Find the equation of the line tangent to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
2.
Find the equation of the line tangent to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
1.
Find the equation of the line tangent to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Find the derivative of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the slope of the tangent line, substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the derivative function.
Determine the equation of the tangent line using the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and a slope of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The equation of the line tangent to the curve «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The equation of the line can also be written in general form as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To find the slope of the tangent line, substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»sec«/mi»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mi»tan«/mi»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Determine the equation of the tangent line using the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and a slope of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Method 1
Use the slope-intercept form of a line.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»m«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mfenced»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Method 2
Use the slope-point form of a line.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»m«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The equation of the line tangent to the curve «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The equation of the line can also be written in general form as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
Find the equation of the line tangent to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find the derivative of the function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
To find the slope of the tangent line, substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the derivative function.
To find the equation of the tangent line, an ordered pair is needed. One such ordered pair can be determined by evaluating «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mo»§#960;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The ordered pair is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Determine the equation of the tangent line using the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and a slope of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The equation of the line tangent to the curve «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The equation of the line can also be written in general form as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»sin«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»cos«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To find the slope of the tangent line, substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mfenced»«mo»§#960;«/mo»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»cos«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To find the equation of the tangent line, an ordered pair is needed. One such ordered pair can be determined by evaluating «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mo»§#960;«/mo»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mfenced»«mo»§#960;«/mo»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The ordered pair is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math».
Determine the equation of the tangent line using the point «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfenced»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mstyle»«/math» and a slope of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Method 1
Use the slope-intercept form of a line.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»m«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»+«/mo»«mi»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Method 2
Use the slope-point form of a line.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»y«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»m«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The equation of the line tangent to the curve «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The equation of the line can also be written in general form as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».