L1 Numbers Problems and Geometric Applications - Part 6
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 1: Numbers Problems and Geometric Applications
Watch the video More Maximum and Minimum Practice Question to see additional examples involving mathematical optimization. Note the second example shows the solution using a graphing calculator. An algebraic solution of this problem will follow
the video.
Your company has been hired to manufacture soup cans that can hold «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»500«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»mL«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». Assuming
the cans have the standard cylindrical shape, what is the least amount of material you need to use per can?
Note: this is the example from the previous video. Here is an algebraic solution.
Since the can holds «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»500«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»mL«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», start with the volume formula for a cylinder.
Rewrite the formula to solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math».
The goal is to find the dimensions of a can that uses the least amount of material, or the smallest surface area. Use the surface area formula for a cylinder.
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»500«/mn»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the surface area formula.
To determine the minimum amount of material required, find the derivative of the surface area function and equate it to zero.
By the second derivative test, the surface area function is at a minimum where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math» because the second derivative is positive at that point (concave up).
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the surface area formula.
The surface area of the cylinder is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mfenced»«mroot»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«mroot»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»250«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math», which is the same as the value «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»348«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»73«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» calculated in the video.
Since the can holds «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»500«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»mL«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», start with the volume formula for a cylinder.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Rewrite the formula to solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»500«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»500«/mn»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»500«/mn»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the surface area formula.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»500«/mn»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«mi»r«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To determine the minimum amount of material required, find the derivative of the surface area function and equate it to zero.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mroot»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»r«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«msup»«mi»r«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
By the second derivative test, the surface area function is at a minimum where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math» because the second derivative is positive at that point (concave up).
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mroot»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the surface area formula.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«mi»r«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mfenced»«mroot»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace
width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«mroot»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»250«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Recall a decimal approximation is not an exact value. When solving problems without a calculator, the solutions need to be written as exact values. |
The surface area of the cylinder is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mfenced»«mroot»«mfrac»«mn»250«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mfrac»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«/mrow»«mroot»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»250«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»§#960;«/mi»«/mfrac»«/mstyle»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math», which is the same as the value «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mn»348«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»73«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» calculated in the video.
Find the volume of the largest right circular cone that can be inscribed in a sphere of radius «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math» be the height of the right circular cone and let be the radius of the base of the cone.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»V«/mi»«/mstyle»«/math» be the volume to be maximized. The formula for the volume of a cone is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the Pythagorean theorem to write «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» in terms of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math».
Rewrite the volume formula of the cone in terms of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math».
Determine the derivative of the volume function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
Solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math».
A height of zero represents the minimum volume of the cone, so omit «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as a solution.
Apply the second derivative test to check if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mstyle»«/math» provides a maximum volume.
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». By the second derivative test, the function is at a maximum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mstyle»«/math» (graph is concave down).
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mstyle»«/math», find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» using «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»60«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Now, find the maximum volume.
The volume of the largest right circular cone is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»32«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»V«/mi»«/mstyle»«/math» be the volume to be maximized. The formula for the volume of a cone is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Click the plus sign to view enlarged details of the diagram.
Use the Pythagorean theorem to write «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» in terms of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mn»30«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»30«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»900«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»60«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»900«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»60«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Rewrite the volume formula of the cone in terms of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»60«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»60«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Determine the derivative of the volume function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»120«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»120«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»120«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»120«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨center center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»120«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»120«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»40«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
A height of zero represents the minimum volume of the cone, so omit «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as a solution.
Apply the second derivative test to check if «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mstyle»«/math» provides a maximum volume.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»120«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»40«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»40«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
At «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math». By the second derivative test, the function is at a maximum at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mstyle»«/math» (graph is concave down).
For «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»40«/mn»«/mstyle»«/math», find «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» using «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»60«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»40«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mn»40«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»400«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»600«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»800«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Now, find the maximum volume.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»800«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfenced»«mn»40«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»32«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The volume of the largest right circular cone is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mn»32«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#960;«/mo»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».