L1 Numbers Problems and Geometric Applications - Practice 2
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 1: Numbers Problems and Geometric Applications
Practice
Once you feel confident with Maximum and Minimum Problems: Geometric Applications, click on the Practice tab and complete problems 1 to 4. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
A rectangular box with two square ends has a surface area of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»150«/mn»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math». Find the dimensions
of the box if its volume is a maximum. What is the maximum volume?
2.
An open box is to be made from a square piece of material measuring «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
on each side. The box will be formed by cutting equal-sized squares from each corner, and then folding up the sides along the dotted lines shown in the diagram provided. Find the volume of the largest box that can be made this way.
3.
An open-topped can has the form of a cylinder. It has a volume of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math».
If the can is made from the least amount of material, what must be its dimensions?
4.
A farmer wishes to fence off a rectangular field that borders a straight river, as shown in the diagram provided. He does not need to fence the side bordering the river. The area of the rectangular field is to be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», and the farmer wishes to use the least amount of fencing material. What should be the dimensions of the rectangular field?
1.
A rectangular box with two square ends has a surface area of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»150«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math». Find the dimensions
of the box if its volume is a maximum. What is the maximum volume?
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» be the area of a square end. Let the area of one of the four rectangular
sides be represented by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find the surface area of the rectangular box, and write the surface area in terms of one variable.
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»75«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the volume formula so it can be written in terms of a single variable.
Determine the derivative of the function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
Solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math» when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Evaluate the second derivative at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
By the second derivative test, the function is at a maximum where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» because the second derivative is negative for all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» (concave down).
Therefore, the dimensions of the box are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The maximum volume is as follows.
The maximum volume of the box would be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»125«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»V«/mi»«/mstyle»«/math» represent the volume to be maximized.
Find the surface area of the rectangular box, and write the surface area in terms of one variable.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»150«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»75«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»75«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»75«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»75«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the volume formula so it can be written in terms of a single variable.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»75«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»75«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Determine the derivative of the function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»75«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| If «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»25«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math». But, since «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» is a length, it cannot be negative. |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»75«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»75«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»50«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»75«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Evaluate the second derivative at «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
By the second derivative test, the function is at a maximum where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» because the second derivative is negative for all «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» (concave down).
Therefore, the dimensions of the box are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The maximum volume is as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»125«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The maximum volume of the box would be «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»125«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
2.
An open box is to be made from a square piece of material measuring «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
on each side. The box will be formed by cutting equal-sized squares from each corner, and then folding up the sides along the dotted lines shown in the diagram provided. Find the volume of the largest box that can be made this
way.
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» be the length of the corner squares, in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mi»cm«/mi»«/mstyle»«/math», and let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»30«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
be the length of the square-based box, in «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»cm«/mi»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»V«/mi»«/mstyle»«/math» be the volume to be maximized.
Determine the derivative of the function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
The solution «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not valid since that would give a box length of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». Therefore, the solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
The second derivative «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»240«/mn»«mo»+«/mo»«mn»24«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is negative where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math». As such, the function is at a maximum at that point.
Solve for the length and width of the box when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
The dimensions of the box are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mstyle»«/math».
The maximum volume is as follows.
The maximum volume is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Let «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»V«/mi»«/mstyle»«/math» be the volume to be maximized.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»l«/mi»«mi»w«/mi»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»30«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»)(«/mi»«mn»30«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»900«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»120«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»900«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»240«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»900«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»240«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»240«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»900«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»75«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»or«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The solution «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»15«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» is not valid since that would give a box length of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math». Therefore, the solution is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
The second derivative «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»V«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»240«/mn»«mo»+«/mo»«mn»24«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is negative where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math». As such, the function is at a maximum at that point.
Solve for the length and width of the box when «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»length«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»and«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»width«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The dimensions of the box are «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» by «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/mstyle»«/math».
The maximum volume is as follows.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»l«/mi»«mi»w«/mi»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mn»20«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The maximum volume is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»2«/mn»«mspace width=¨0.125em¨/»«mspace width=¨0.125em¨/»«mn»000«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
3.
An open-topped can has the form of a cylinder. It has a volume of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math». If the can
is made from the least amount of material, what must be its dimensions?
Rewrite the formula to solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math».
Use the surface area formula for a cylinder as the function whose minimum must be found.
Substitute the value of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math» into the surface area formula.
Determine the derivative of the function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/math», a minimum occurs at that point.
Therefore, the can that uses the least material should have a radius of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math» and a height of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math».
Since the volume of the can is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math», start with the volume formula for a cylinder.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mrow»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Use the surface area formula for a cylinder as the function whose minimum must be found.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«/math»
| Note: Since the can is open at the top, the surface area formula has been adjusted to only include one circular area (the base).
|
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mi»r«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Determine the derivative of the function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mi»r«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»16«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»r«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mrow»«mn»400«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»32«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#960;«/mo»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»32«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»r«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»r«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/math», a minimum occurs at that point.
Therefore, the can that uses the least material should have a radius of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math» and a height of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math».
4.
A farmer wishes to fence off a rectangular field that borders a straight
river, as shown in the diagram provided. He does not need to fence the
side bordering the river. The area of the rectangular field is to be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», and the farmer wishes to use the least amount of fencing material. What should be the dimensions of the rectangular field?
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» be the width of the field, in metres, and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» be the length of the field, in metres.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»L«/mi»«/math» be the length of fencing to be minimized.
Find the area of the rectangular enclosure and solve for either «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» or «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math».
The total length of the fence is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»L«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/math». Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»800«/mn»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/math» into «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»L«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/math».
Determine the derivative of the function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»L«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«/math», a minimum occurs at that point.
The dimensions of the rectangular field should be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»60«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»L«/mi»«/math» be the length of fencing to be minimized.
Find the area of the rectangular enclosure and solve for either «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» or «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The total length of the fence is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»L«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/math». Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mn»800«/mn»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/math» into «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»L«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»L«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Determine the derivative of the function, and set it equal to zero to find the critical number(s).
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»L«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»900«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mrow»«mn»30«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»L«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»600«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»L«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»600«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»L«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«/math», a minimum occurs at that point.
The dimensions of the rectangular field should be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»60«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».