L1 Numbers Problems and Geometric Applications - Practice 3
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 1: Numbers Problems and Geometric Applications
Practice
Once you feel confident with Maximum and Minimum Problems: Geometric Applications, click on the Practice tab and complete problems 1 to 4. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
A piece of paper has an area of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»600«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math». The margins at the top and bottom are each «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math» and the margins at each side are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math». What are the dimensions of the paper if the printed area is a maximum?
2.
A net enclosure for batting practice is open at one end. What dimensions will enclose a volume of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»144«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» and require the least amount of netting material?
3.
The longer base of a trapezoid lies on the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis. The base vertices correspond to the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts of the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», and the other two vertices intersect the same parabola. Find the maximum possible area of the trapezoid.
4.
If an isosceles triangle is inscribed in a circle of radius «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math», find the dimensions of the isosceles triangle of maximum area.
1.
A piece of paper has an area of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»600«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»cm«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math». The margins at the top and bottom are each «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math» and the margins at each side are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math». What are the dimensions of the paper if the printed area is a maximum?
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» represent the dimensions of the paper.
Determine the derivative of the printed area function and equate it to zero.
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/math», a maximum occurs at that point.
Therefore, the printed area is a maximum when the dimensions of the paper are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math» by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math».
Total Area of Paper:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»600«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»600«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Printed Area:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»600«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»600«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»400«/mn»«/mrow»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»24«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»624«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»400«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»624«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»400«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»400«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»400«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»400«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»400«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»400«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»600«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»600«/mn»«mn»20«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»800«/mn»«/mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»20«/mn»«/math», a maximum occurs at that point.
Therefore, the printed area is a maximum when the dimensions of the paper are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math» by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»30«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math».
2.
A net enclosure for batting practice is open at one end. What dimensions will enclose a volume of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»144«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» and require the least amount of netting material?
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»V«/mi»«/math» represent the volume.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«/math» be the surface area to be minimized.
Determine the derivative of the surface area function and equate it to zero.
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math», a minimum occurs at that point.
Therefore, the amount of netting used is a minimum when the dimensions of the net enclosure are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«/math» be the surface area to be minimized.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»V«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»144«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»144«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»144«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»432«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Determine the derivative of the surface area function and equate it to zero.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»432«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»432«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»432«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»432«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»432«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»216«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»144«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»144«/mn»«mn»36«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»864«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»864«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»S«/mi»«mi»A«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»``«/mo»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math», a minimum occurs at that point.
Therefore, the amount of netting used is a minimum when the dimensions of the net enclosure are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math» by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
3.
The longer base of a trapezoid lies on the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-axis. The base vertices correspond to the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts of the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math», and the other two vertices intersect the same parabola. Find the maximum possible area of the trapezoid.
Find the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
The «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math».
Draw a diagram.
The length of the longer base is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«/math» units.
The height, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math», of the trapezoid is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math», and the length of the shorter base is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/math».
Find the area of the trapezoid.
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathsize=¨16px¨»y«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»=«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»4«/mn»«mo mathsize=¨16px¨»§#8722;«/mo»«msup»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/msup»«/math» into «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathsize=¨16px¨»A«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»=«/mo»«mfrac»«mn mathsize=¨16px¨»1«/mn»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathsize=¨16px¨»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»+«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math».
Determine the derivative of the area function and equate it to zero.
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» is a length, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math» is not possible.
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math», a maximum occurs at that point.
Now, find the area of the trapezoid.
Therefore, the maximum area of the trapezoid is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»256«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»or«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»9«/mn»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#177;«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math»-intercepts are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math».
Draw a diagram.
The length of the longer base is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«/math» units.
The height, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math», of the trapezoid is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math», and the length of the shorter base is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/math».
Find the area of the trapezoid.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathsize=¨16px¨»A«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»=«/mo»«mfrac»«mn mathsize=¨16px¨»1«/mn»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathsize=¨16px¨»h«/mi»«mfenced»«mrow»«mi mathsize=¨16px¨»a«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»+«/mo»«mi mathsize=¨16px¨»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math», where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»b«/mi»«/math» are the lengths of the bases
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathsize=¨16px¨»A«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»=«/mo»«mfrac»«mn mathsize=¨16px¨»1«/mn»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathsize=¨16px¨»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»+«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathsize=¨16px¨»A«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»=«/mo»«mfrac»«mn mathsize=¨16px¨»1«/mn»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathsize=¨16px¨»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»+«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathsize=¨16px¨»y«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»=«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»4«/mn»«mo mathsize=¨16px¨»§#8722;«/mo»«msup»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/msup»«/math» into «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathsize=¨16px¨»A«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»=«/mo»«mfrac»«mn mathsize=¨16px¨»1«/mn»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mfrac»«mi mathsize=¨16px¨»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»+«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Determine the derivative of the area function and equate it to zero.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mn mathsize=¨16px¨»3«/mn»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»§#8722;«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»+«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«mn mathsize=¨16px¨»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mn mathsize=¨16px¨»3«/mn»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»§#8722;«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi mathsize=¨16px¨»x«/mi»«mo mathsize=¨16px¨»+«/mo»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn mathsize=¨16px¨»2«/mn»«mn mathsize=¨16px¨»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» is a length, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math» is not possible.
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»32«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math», a maximum occurs at that point.
Now, find the area of the trapezoid.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»32«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»32«/mn»«mn»18«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»9«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»256«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, the maximum area of the trapezoid is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»256«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»or«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»9«/mn»«mfrac»«mn»13«/mn»«mn»27«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msup»«mi»units«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math».
4.
If an isosceles triangle is inscribed in a circle of radius «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math», find the dimensions of the isosceles triangle of maximum area.
Draw a diagram.
Use the Pythagorean theorem, where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/math», to write «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math».
Find the area of the isosceles triangle. Then, rewrite the area formula in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math».
Using the product rule, determine the derivative of the area function and equate it to zero.
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» is the height, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» is not possible.
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math», a maximum occurs at that point.
As seen from the above calculation of the second derivative, the second derivative test may not be the most efficient method of verifying if a maximum value occurs at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math».
However, the first derivative can be used to find the intervals of increase and decrease, which will confirm whether a critical point is a maximum or a minimum. Either the sign analysis method or an interval chart can be used.
Recall from above, the first derivative and critical points are as follows.
Note: Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» represents height, the only possible intervals are those where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» is positive.
Since the function changes from increasing to decreasing at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math», a maximum occurs at that point.
The height of the triangle is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math» and the base is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»cm«/mi»«/math» when the area of the triangle is a maximum.
Use the Pythagorean theorem, where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/math», to write «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»4«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Find the area of the isosceles triangle. Then, rewrite the area formula in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»A«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»b«/mi»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«mo»§#8729;«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Using the product rule, determine the derivative of the area function and equate it to zero.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»16«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»24«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»6«/mn»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» is the height, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» is not possible.
Solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»8«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»6«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»48«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»36«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»12«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mi»h«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»48«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»24«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»24«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mn»4«/mn»«/mfenced»«mi»h«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»48«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»16«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»24«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»h«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»24«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»12«/mn»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#60;«/mo»«mn»0«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math», a maximum occurs at that point.
As seen from the above calculation of the second derivative, the second derivative test may not be the most efficient method of verifying if a maximum value occurs at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math».
However, the first derivative can be used to find the intervals of increase and decrease, which will confirm whether a critical point is a maximum or a minimum. Either the sign analysis method or an interval chart can be used.
Recall from above, the first derivative and critical points are as follows.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»A«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»24«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»8«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»24«/mn»«mi»h«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»h«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»6«/mn»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»6«/mn»«mo»-«/mo»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Note: Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» represents height, the only possible intervals are those where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» is positive.
Since the function changes from increasing to decreasing at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«/math», a maximum occurs at that point.
The height of the triangle is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»6«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»cm«/mi»«/math» and the base is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msqrt»«mn»3«/mn»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»cm«/mi»«/math» when the area of the triangle is a maximum.