L2 Extreme Values of Distance and Time and Economics - Part 3
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 2: Extreme Values of Distance and Time and Economics
In Example 1, the first derivative was used to determine the critical point. How do we know this point represents a minimum value and not a maximum value? In Unit 2, the second derivative test was used to make this distinction. However,
the equation «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»200«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»50«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»300«/mn»«mi»t«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/math»
is defined implicitly, making it much more difficult to determine the second derivative.
Although the second derivative test is not an option for implicitly defined functions in this course, there are two other options you can use:
Although the second derivative test is not an option for implicitly defined functions in this course, there are two other options you can use:
- Intuitively try to determine whether the critical point is a maximum or minimum value. In Example 2, the planes are flying away from each other, so there should be no maximum. This can be seen the applet where the minimum distance is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»27«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»735«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»098«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8230;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math».
- Compare the critical points to each other or if there is only one critical point, compare it to another value. In Example 2, the only critical value is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»100«/mn»«msqrt»«mn»13«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/math». When the first plane flies over the house, the two planes are «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»200«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»10«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«mn»60«/mn»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»100«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»km«/mi»«/math» apart. Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»100«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#62;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»100«/mn»«msqrt»«mn»13«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/math» the critical point of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»100«/mn»«msqrt»«mn»13«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»13«/mn»«/mfrac»«/math» must be a minimum.
Yacht «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» is anchored «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math» off a straight shoreline. Opposite a point «math
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»9«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math» down the coast, Yacht «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math» is anchored «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»8«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math»
off the shore. A boat from Yacht «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» is to bring a passenger to the beach, then proceed to Yacht «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math» to
pick up another passenger. At what point along the shore should the first passenger be dropped in order to minimize the distance travelled by the boat?
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» be the distance (in «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»km«/mi»«/math») from Yacht «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math» to
the beach, let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» be the distance (in «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»km«/mi»«/math») from the beach to Yacht «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»B«/mi»«/math»,
and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«/math» be the distance (in «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»km«/mi»«/math») along the shore.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«/math» be the distance to be minimized.
The distance to be minimized is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/math».
Use the Pythagorean Theorem to write «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«/math».
Now, rewrite the distance function in terms of one variable.
Determine the derivative of the distance function and equate it to zero.
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«/math» represents a length, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/math» is not valid.
To find the absolute minimum of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«/math» on the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math», we evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«/math» at the critical number «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» and the endpoints.
The absolute minimum distance occurs when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math».
The boat should land on the beach «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math» from the point directly across from Yacht «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«/math» be the distance to be minimized.
The distance to be minimized is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/math».
Use the Pythagorean Theorem to write «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«/math» in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»4«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»z«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»8«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/msqrt»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»81«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»64«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Now, rewrite the distance function in terms of one variable.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»y«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«msqrt»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Determine the derivative of the distance function and equate it to zero.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»D«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»z«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»z«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»z«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»z«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»z«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»z«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»z«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»z«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»z«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»z«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»z«/mi»«/mrow»«msqrt»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»z«/mi»«msqrt»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»z«/mi»«/mrow»«msqrt»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mfrac»«mi»z«/mi»«msqrt»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»z«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»z«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»81«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»z«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«msup»«mi»z«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»z«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«msup»«mi»z«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»97«/mn»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»288«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»296«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»z«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«msup»«mi»z«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»48«/mn»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»288«/mn»«mi»z«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»296«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»6«/mn»«mi»z«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»27«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»z«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Note: To simplify the expression to remove the radicals, square both sides of the equation. |
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center center center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»9«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»or«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»z«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»z«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»z«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«/math» represents a length, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»9«/mn»«/math» is not valid.
To find the absolute minimum of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«/math» on the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»9«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math», we evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»D«/mi»«/math» at the critical number «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» and the endpoints.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»z«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»18«/mn»«mi»z«/mi»«mo»+«/mo»«mn»145«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»145«/mn»«/msqrt»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»04«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»3«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mo»+«/mo»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»15«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»D«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»9«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msqrt»«mn»97«/mn»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»17«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»84«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Note: Because a calculator is required to verify that the minimum distance occurs at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»z«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/math» this step will not be expected on the assignment or the quiz. |
The boat should land on the beach «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math» from the point directly across from Yacht «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»A«/mi»«/math».