L2 Extreme Values of Distance and Time and Economics - Part 4
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 2: Extreme Values of Distance and Time and Economics
Watch the video More Maximum and Minimum Problems - This river should be a lake.
In the video, the quickest route was calculated using a graphing calculator. The algebraic solution to this problem is as follows:
Determine the derivative of the time function and equate it to zero.
Since the right side of this equation cannot be factored, the quadratic formula must be used. Based on the numbers in this equation, a calculator is needed to calculate the approximate values of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«/math».
Since the distance cannot be larger than «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math», the solution of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8784;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»44«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»km«/mi»«/math» is invalid.
To find the absolute minimum of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» on the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math», we evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» at the critical number «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8784;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»56«/mn»«/math» and the endpoints.
The absolute minimum time occurs when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»56«/mn»«/math».
You should swim directly to the point that is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»21«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»21«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»21«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math» north of the campsite.
In the video, the quickest route was calculated using a graphing calculator. The algebraic solution to this problem is as follows:
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»t«/mi»«mi»total«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msub»«mi»d«/mi»«mi»s«/mi»«/msub»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Determine the derivative of the time function and equate it to zero.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mfrac»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msqrt»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/msqrt»«/mfrac»«/mfenced»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»25«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»8«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»50«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»21«/mn»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»42«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»17«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since the right side of this equation cannot be factored, the quadratic formula must be used. Based on the numbers in this equation, a calculator is needed to calculate the approximate values of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»b«/mi»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mi»b«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»a«/mi»«mi»c«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»42«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»42«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»21«/mn»«mi»)(«/mi»«mn»17«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»21«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»42«/mn»«mo»§#177;«/mo»«msqrt»«mn»336«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»42«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«/mtd»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»44«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»o«/mi»«mi»r«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8784;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»56«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
| Note: Because this course is a non-calculator course, there would never be an expectation for you to compute with radicals like these in your head. |
To find the absolute minimum of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» on the interval «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math», we evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»t«/mi»«/math» at the critical number «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8784;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»56«/mn»«/math» and the endpoints.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«msub»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»71«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»56«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»55«/mn»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»11«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»§#8784;«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»66«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»t«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»7«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The absolute minimum time occurs when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»d«/mi»«mi»w«/mi»«/msub»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»56«/mn»«/math».
You should swim directly to the point that is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mn»21«/mn»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mn»21«/mn»«/msqrt»«/mrow»«mn»21«/mn»«/mfrac»«mo»§#160;«/mo»«mi»km«/mi»«/math» north of the campsite.