L2 Extreme Values of Distance and Time and Economics - Part 7
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 2: Extreme Values of Distance and Time and Economics
A toy retailer finds «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»100«/mn»«/math» teddy bears can be sold if each is priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»12«/mn»«/math». However, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»20«/mn»«/math» more teddy bears can be sold for every «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»1«/mn»«/math» decrease in price. The cost to produce each bear is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»6«/mn»«/math». In addition, the retailer must pay a fixed cost of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»150«/mn»«/math», regardless of the number of bears produced. What price would generate the maximum profit?
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» be the selling price for each bear.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» be the profit to be maximized.
There are two methods to find the maximum profit.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» be the profit to be maximized.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Number«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»of«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»bears«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»sold«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»100«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Total«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Sales«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Total«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Cost«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»150«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»190«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»120«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Total«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Cost«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»150«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»190«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»120«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
There are two methods to find the maximum profit.
Using the Derivative of the Profit Formula
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«/math» for all «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math», therefore a maximum revenue is produced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Profit«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Revenue«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Costs«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»190«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»120«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»340«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»190«/mn»«mo»+«/mo»«mn»120«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»460«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»190«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»460«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»460«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»460«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»460«/mn»«mn»40«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»11«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«/math» for all «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math», therefore a maximum revenue is produced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/math».
Using Marginal Revenue and Marginal Cost
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«/math» for all «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math», therefore a maximum revenue is produced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/math».
The bears should be priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»50«/mn»«/math» each to generate a maximum profit.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Revenue«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»price«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»per«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»unit«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»number«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»of«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»units«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»p«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»340«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Total«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Cost«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»fixed«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»costs«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»+«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»variable«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»costs«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»150«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mn»6«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»190«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»120«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»120«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Marginal«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Revenue«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Marginal«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Cost«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»120«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»460«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»460«/mn»«mn»40«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»11«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Marginal«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Revenue«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Marginal«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Cost«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»340«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»120«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»460«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»460«/mn»«mn»40«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»11«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«/math» for all «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math», therefore a maximum revenue is produced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/math».
The bears should be priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»50«/mn»«/math» each to generate a maximum profit.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» be the number of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»1«/mn»«/math» decreases.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»100«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/math» be the number of bears sold.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»12«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math» be the price per bear.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» represent revenue.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» be the profit to be maximized.
Since the cost to produce each bear is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»6«/mn»«/math», this amount is subtracted from the price per bear to calculate the profit statement.
Find the maximum profit by finding where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/math», therefore a maximum profit is produced at that point.
Determine the selling price per bear to maximize profits.
The bears should be priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»50«/mn»«/math» each to generate a maximum profit.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»100«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/math» be the number of bears sold.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»12«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math» be the price per bear.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» represent revenue.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» be the profit to be maximized.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Revenue«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»number«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»of«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»bears«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»sold«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»price«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»per«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»bear«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since the cost to produce each bear is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»6«/mn»«/math», this amount is subtracted from the price per bear to calculate the profit statement.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Profit«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Revenue«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8211;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Fixed«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Costs«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»6«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»150«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»100«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»150«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»600«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»150«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»20«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»450«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Find the maximum profit by finding where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»40«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»20«/mn»«mn»40«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»40«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/math», therefore a maximum profit is produced at that point.
Determine the selling price per bear to maximize profits.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»the«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»price«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»per«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»bear«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»12«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨».«/mi»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The bears should be priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»11«/mn»«mo».«/mo»«mn»50«/mn»«/math» each to generate a maximum profit.