L2 Extreme Values of Distance and Time and Economics - Practice 2
Completion requirements
Unit 5
Applications of Derivatives
A. Maximum and Minimum Problems
Lesson 2: Extreme Values of Distance and Time and Economics
Practice
Once you feel confident with Maximum and Minimum Problems: Extreme Values in Economics, click on the Practice tab and complete problems 1 to 3. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Click here for a formula sheet for Unit 5.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
Click here for a formula sheet for Unit 5.
1.
The cruising speed of an airplane is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»300«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»km«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»h«/mi»«/math». The formula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mn»250«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»h«/mi»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»500«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/math» represents the cost per hour of flying the airplane, where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» is the height in metres. Determine the height at which the cost of flying is a minimum.
2.
A motel has «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40«/mn»«/math» rooms. Each rooms costs «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»60«/mn»«/math» per night. For each «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»5«/mn»«/math» per night increase, there is one additional room left vacant.
a.
What should be the price per room to maximize the motel’s total revenue?
b.
What is the maximum possible nightly revenue?
3.
During the summer, Dana offers a lawn-mowing service. Last summer, Dana charged «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»15«/mn»«/math» per job and averaged «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«/math» customers per week. If she increased her price by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»2«/mn»«/math», she lost one customer per week. If her overhead per job is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»5«/mn»«/math»,
a.
what should she charge in order to maximize her profits,
b.
how many customers will she have, and
c.
what is the maximum possible profit?
1.
The cruising speed of an airplane is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»300«/mn»«mspace width=¨0.33em¨/»«mi»km«/mi»«mo»/«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»h«/mi»«/math». The formula «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mn»250«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»h«/mi»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»500«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«mi»h«/mi»«/mfrac»«/math» represents the cost per hour of flying the airplane, where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«/math» is the height in metres. Determine the height at which the cost of flying is a minimum.
Find the derivative of the cost function and equate it to zero.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/math», therefore a minimum cost at that point.
The height at which the cost of flying is a minimum is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»250«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mi»h«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»500«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»h«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»500«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«msup»«mi»h«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»500«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»500«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»h«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»h«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mn»000«/mn»«/mrow»«msup»«mi»h«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mfrac»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»h«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«/math», therefore a minimum cost at that point.
The height at which the cost of flying is a minimum is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»5«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»000«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»m«/mi»«/math».
2.
A motel has «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40«/mn»«/math» rooms. Each rooms costs «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»60«/mn»«/math» per night. For each «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»5«/mn»«/math» per night increase, there is one additional room left vacant.
a.
What should be the price per room to maximize the motel’s total revenue?
b.
What is the maximum possible nightly revenue?
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» be the number of rooms occupied and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math» be the number of vacancies.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» be the revenue to be maximized.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»26«/mn»«/math», therefore a maximum profit is produced at that point.
The room should be priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»130«/mn»«/math» to maximize revenue.
The maximum possible nightly revenue is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»$«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»380«/mn»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» be the revenue to be maximized.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»price«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»per«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»unit«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»40«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»260«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»p«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»260«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»260«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»260«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»260«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»260«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»260«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»26«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»26«/mn»«/math», therefore a maximum profit is produced at that point.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»260«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»260«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»26«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»130«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The room should be priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»130«/mn»«/math» to maximize revenue.
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»p«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»130«/mn»«mfenced»«mn»26«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»380«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The maximum possible nightly revenue is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»$«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»380«/mn»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» be the number of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»5«/mn»«/math» increases.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/math» be the price per room.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math» be the number of possible rooms rented.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» be the revenue to be maximized.
The maximum revenue is found when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»14«/mn»«/math», therefore a maximum revenue is produced at that point.
The room should be priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»130«/mn»«/math» to maximize revenue.
The maximum possible nightly revenue is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»380«/mn»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/math» be the price per room.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»40«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math» be the number of possible rooms rented.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» be the revenue to be maximized.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»Revenue«/mi»«mo»=«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mi»)(«/mi»«mn»40«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/math»
The maximum revenue is found when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»40«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»60«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»200«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»140«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»140«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»140«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»14«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»14«/mn»«/math», therefore a maximum revenue is produced at that point.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»price«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»per«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»room«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»14«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»70«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»130«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The room should be priced at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»130«/mn»«/math» to maximize revenue.
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Revenue«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mi»)(«/mi»«mn»40«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»60«/mn»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»14«/mn»«mi»))«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»40«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»14«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mn»130«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mn»26«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»380«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The maximum possible nightly revenue is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mn»380«/mn»«/math».
3.
During the summer, Dana offers a lawn-mowing service. Last summer, Dana charged «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»15«/mn»«/math» per job and averaged «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«/math» customers per week. If she increased her price by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»2«/mn»«/math», she lost one customer per week. If her overhead per job is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»5«/mn»«/math»,
a.
what should she charge in order to maximize her profits,
b.
how many customers will she have, and
c.
what is the maximum possible profit?
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» be the number of customers and let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math» be the number of customers lost.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» be the profit to be maximized.
Dana should charge «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»25«/mn»«/math» per job.
The maximum possible profit is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»200«/mn»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» be the profit to be maximized.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»price«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»per«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»job«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»p«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»45«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Cost«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Marginal«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Revenue«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Marginal«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Cost«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»40«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»40«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/math», therefore a maximum revenue is produced at that point.«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Marginal«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Revenue«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Marginal«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Cost«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»R«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»C«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»40«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»40«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Dana should charge «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»25«/mn»«/math» per job.
b.
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/math», Dana will have «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«/math» customers.
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left center center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»45«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»50«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»250«/mn»«/mtd»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»R«/mi»«mo»-«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»250«/mn»«mo»-«/mo»«mn»50«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»200«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»R«/mi»«mo»-«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»250«/mn»«mo»-«/mo»«mn»50«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»200«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The maximum possible profit is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»200«/mn»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math» be the number of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»2«/mn»«/math» increases.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math» be the number of customers.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/math» be the price per job.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» represent revenue.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» be the profit to be maximized.
Since the overhead per job is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»5«/mn»«/math», this amount is subtracted from the price per job to calculate the profit statement.
Find maximum profit by finding where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/math», therefore a maximum profit is produced at that point.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/math» be the number of customers.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/math» be the price per job.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»R«/mi»«/math» represent revenue.
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»P«/mi»«/math» be the profit to be maximized.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Revenue«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»number«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»of«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»customers«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»price«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»per«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»job«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»R«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since the overhead per job is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»5«/mn»«/math», this amount is subtracted from the price per job to calculate the profit statement.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»Profit«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»Revenue«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mo»§#8211;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Fixed«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»Costs«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»P«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo mathcolor=¨#FF0000¨»§#8722;«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»150«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»30«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»150«/mn»«mo»+«/mo»«mn»20«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Find maximum profit by finding where «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»20«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»d«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»P«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/math» at «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/math», therefore a maximum profit is produced at that point.
a.
Determine the price per job when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math».
Dana should charge «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»25«/mn»«/math» per job.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»the«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»price«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»per«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»job«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»15«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»25«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Dana should charge «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»25«/mn»«/math» per job.
b.
Determine the number of customers when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math».
Dana will have «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«/math» customers.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»the«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»number«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»of«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»customers«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»15«/mn»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»15«/mn»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Dana will have «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mn»10«/mn»«/math» customers.
c.
Determine the maximum profit when «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»maximum«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»profit«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mn»20«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»200«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The maximum possible profit is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»200«/mn»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»maximum«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»profit«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»P«/mi»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»10«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mn»5«/mn»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»15«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mn»20«/mn»«/mfenced»«mfenced»«mn»10«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»200«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The maximum possible profit is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»$«/mo»«mn»200«/mn»«/math».