L1 Derivatives of Exponential Functions - Practice 1
Completion requirements
Unit 6
Exponential and Logarithmic Functions
Lesson 1: Derivatives of Exponential Functions
Practice
Once you feel confident with finding derivatives of exponential functions, click on the Practice tab and complete problems 1 and 2. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Evaluate the following limits.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
2.
Differentiate the following functions.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
1.
Evaluate the following limits.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
If necessary, refer to the graphs of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/munder»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
2.
Differentiate the following functions.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Apply the chain rule.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Apply the product rule.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the product rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Apply the chain rule.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»g«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
d.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Apply the quotient rule.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the quotient rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
e.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Apply the chain rule.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Apply the chain rule.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»30«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo»=«/mo»«mn»30«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».