L2 Review of Logarithms and Exponential Functions - Part 1
Completion requirements
Unit 6
Exponential and Logarithmic Functions
Lesson 2: Review of Logarithms and Exponential Functions
In previous math courses, you learned about many different operations: addition, division, finding the cosine of an angle, etc. Each of those operations has a partner operation that undoes the other. These pairs are called inverse operations, and
several are shown in the table.
The last line of the table contains the operation of exponentiation. What is the inverse operation of exponentiation?
Let’s explore the possibilities using a table of values for the exponential function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The inverse function must have the values in the two columns switched as follows.
As such, the inverse function produces a value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» when the operation is applied to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» and it produces a value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» when the operation is applied to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math». This operation is called a logarithm.
Logarithms were first introduced in Math 30-1. In that course, many of the given problems were solved using a graphing calculator. Please remember a calculator is not allowed for any Math 31 exam. As such, solve the problems in this course algebraically.
| Inverse Operations
|
|
| Addition | Subtraction |
| Multiplication | Division |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8805;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math», «math style=¨font-family:Verdana¨
xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»§#8804;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8804;«/mo»«mo»§#960;«/mo»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mstyle»«/math» | ???? |
The last line of the table contains the operation of exponentiation. What is the inverse operation of exponentiation?
Let’s explore the possibilities using a table of values for the exponential function «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mn»10«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»1«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» |
The inverse function must have the values in the two columns switched as follows.
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» | «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»f«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»0«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»0«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»1«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»1«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»3«/mn»«/mstyle»«/math» |
As such, the inverse function produces a value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mn»2«/mn»«/mstyle»«/math» when the operation is applied to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math» and it produces a value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» when the operation is applied to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mn»10«/mn»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«/mstyle»«/math». This operation is called a logarithm.
Logarithms were first introduced in Math 30-1. In that course, many of the given problems were solved using a graphing calculator. Please remember a calculator is not allowed for any Math 31 exam. As such, solve the problems in this course algebraically.