L2 Review of Logarithms and Exponential Functions - Part 3
Completion requirements
Unit 6
Exponential and Logarithmic Functions
Lesson 2: Review of Logarithms and Exponential Functions
Laws of Logarithms
The logarithmic laws are related to the exponent laws. The table below lists three of the most commonly used laws of logarithms, along with the related exponent laws.| Logarithmic Laws
|
Related Exponent Laws
|
| Product Law of Logarithms «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»M«/mi»«mi»N«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»M«/mi»«mo»+«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»N«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
Product Law of Exponents «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«msup»«mi»c«/mi»«mi»P«/mi»«/msup»«/mfenced»«mfenced»«msup»«mi»c«/mi»«mi»Q«/mi»«/msup»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mrow»«mi»P«/mi»«mo»+«/mo»«mi»Q«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Quotient Law of Logarithms «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mfenced»«mfrac»«mi»M«/mi»«mi»N«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»M«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»N«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
Quotient Law of Exponents «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»c«/mi»«mi»P«/mi»«/msup»«msup»«mi»c«/mi»«mi»Q«/mi»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mrow»«mi»P«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»Q«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Power Law of Logarithms «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«msup»«mi»M«/mi»«mi»N«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»N«/mi»«msub»«mi»log«/mi»«mi»c«/mi»«/msub»«mi»M«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
Power Raised to a Power «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mfenced»«msup»«mi»c«/mi»«mi»P«/mi»«/msup»«/mfenced»«mi»Q«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»c«/mi»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»Q«/mi»«/mrow»«/msup»«/math» |
Just as with the laws of exponents, the laws of logarithms apply when working with logarithms of like bases.
The laws of logarithms can be used to simplify expressions for easier evaluation.
Determine the value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»y«/mi»«/mstyle»«/math».
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mroot»«mn»125«/mn»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
Rewrite the expression on the right side as a single logarithm using the product law of logarithms.
Express the logarithmic equation as an exponential equation, write the equation with like bases, and then simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mfenced»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»§#215;«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mn»144«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Express the logarithmic equation as an exponential equation, write the equation with like bases, and then simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»12«/mn»«/msub»«mn»144«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»144«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»12«/mn»«mi»y«/mi»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»12«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
Rewrite the expression on the right side as a single logarithm using the quotient law of logarithms.
Express the logarithmic equation as an exponential equation, write the equation with like bases, and then simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right right left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»16«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mfenced»«mfrac»«mn»16«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Express the logarithmic equation as an exponential equation, write the equation with like bases, and then simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»2«/mn»«mi»y«/mi»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»2«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
c.
Rewrite the expression on the right side using the power law of logarithms.
Note that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mn»125«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be solved for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the original equation.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mroot»«mn»125«/mn»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«msup»«mfenced»«mn»125«/mn»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mn»125«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Note that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mn»125«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be solved for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mn»125«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»125«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the original equation.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mroot»«mn»125«/mn»«mn»3«/mn»«/mroot»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msub»«mi»log«/mi»«mn»5«/mn»«/msub»«mn»125«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mn»3«/mn»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»