L3 Logarithmic Functions - Part 4
Completion requirements
Unit 6
Exponential and Logarithmic Functions
Lesson 3: Logarithmic Functions
The Natural Logarithm
In Lesson 1, the exponential function with base "e" was introduced and explored. Recall «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is called the natural exponential function. Similarly, the logarithm with base «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»e«/mi»«/mstyle»«/math» is called the natural logarithm. The natural logarithm is written as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msub»«mi»log«/mi»«mi»e«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» |
| «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8660;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»y«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#62;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»e«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
To understand each property, rewrite each exponential equation as a logarithmic equation and rewrite each logarithmic equation as an exponential equation.
Solve «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle
mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
The value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»e«/mi»«mn»10«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
Rewrite the equation as «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mi»e«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Write the logarithmic equation as an exponential equation.
Write the logarithmic equation as an exponential equation.
| Recall that «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mi»e«/mi»«/msub»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
|
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mn»10«/mn»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The value of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«msup»«mi»e«/mi»«mn»10«/mn»«/msup»«/mstyle»«/math».
Solve «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mn»10«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Write the exponential equation as a logarithmic equation, and then solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
The expression «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»10«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is left as an exact value since it cannot be reduced further without a calculator.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mi»e«/mi»«/msub»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»10«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»10«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»10«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| Note: It is not necessary to show the step «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msub»«mi»log«/mi»«mi»e«/mi»«/msub»«mn»10«/mn»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
in the solution if you feel comfortable going directly to the natural logarithm notation.
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