L3 Logarithmic Functions - Part 5
Completion requirements
Unit 6
Exponential and Logarithmic Functions
Lesson 3: Logarithmic Functions
The Properties of the Natural Logarithm
In Lesson 2, the laws of logarithms were reviewed. Those laws also apply to the natural logarithm.| Natural Logarithmic Laws
|
Related Natural Exponent Laws
|
| Product Law of Logarithms «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
Product Law of Exponents «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»P«/mi»«/msup»«/mfenced»«mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»Q«/mi»«/msup»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»P«/mi»«mo»+«/mo»«mi»Q«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Quotient Law of Logarithms «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mi»x«/mi»«mi»y«/mi»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
Quotient Law of Exponents «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»P«/mi»«/msup»«msup»«mi»e«/mi»«mi»Q«/mi»«/msup»«/mfrac»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»P«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»Q«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
| Power Law of Logarithms «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mi»r«/mi»«/msup»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»r«/mi»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
Power Raised to a Power «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»P«/mi»«/msup»«/mfenced»«mi»Q«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»P«/mi»«mi»Q«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» |
Express «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math» as a single logarithm.
First, identify where the power law of logarithms can be applied.
For natural logarithms, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Now, using the product and quotient laws, write the expression as a single logarithm.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
For natural logarithms, «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«msup mathcolor=¨#FF0000¨»«mi»x«/mi»«mn mathcolor=¨#191919¨»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»4«/mn»«/mstyle»«/math»
Now, using the product and quotient laws, write the expression as a single logarithm.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
As was seen in previous lessons, logarithmic and exponential equations can be solved using the laws of logarithms and exponents. Natural logarithmic equations and natural exponential equations can also be solved, as shown below in Example 4.
Solve for the variable and evaluate.
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»24«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
a.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»24«/mn»«mo»+«/mo»«mn»3«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
First, identify where the power law of logarithms can be applied.
Now, using the product and quotient laws, write the expression on the right side as a single logarithm.
First, identify where the power law of logarithms can be applied.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»24«/mn»«mo»+«/mo»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»3«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»24«/mn»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mn»2«/mn»«mn mathcolor=¨#FF0000¨»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Now, using the product and quotient laws, write the expression on the right side as a single logarithm.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mn»24«/mn»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«msup»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»24«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
b.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Rewrite the logarithmic equation as an exponential equation, and then simplify.
Rewrite the logarithmic equation as an exponential equation, and then simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
c.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Simply the exponent on the right by applying the power law of logarithms.
Apply the logarithmic property «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Simply the exponent on the right by applying the power law of logarithms.
Rewrite the exponential equation as a logarithmic equation, and then simplify.
Simply the exponent on the right by applying the power law of logarithms.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«msup»«mn»2«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»16«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Apply the logarithmic property «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»16«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»4«/mn»«mi»ln«/mi»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Simply the exponent on the right by applying the power law of logarithms.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«msup»«mn»2«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»16«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Rewrite the exponential equation as a logarithmic equation, and then simplify.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»16«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»