L4 Derivatives of Logarithmic Functions - Part 4
Completion requirements
Unit 6
Exponential and Logarithmic Functions
Lesson 4: Derivatives of Logarithmic Functions
Bases other than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»e«/mi»«/mstyle»«/math».
Knowing that the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» makes it possible to determine the derivatives of exponential and logarithmic functions with bases other than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»e«/mi»«/mstyle»«/math».
To prove the differentiation rule given above, it is important to remember «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» are inverse functions. As such, one function undoes the other. If both are applied in succession, the result is the original input.
Proof:
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» can be found by applying the chain rule.
Knowing that the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» makes it possible to determine the derivatives of exponential and logarithmic functions with bases other than «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»e«/mi»«/mstyle»«/math».
| «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mi»ln«/mi»«mi»b«/mi»«/math», where «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»b«/mi»«/mstyle»«/math» is a constant. |
To prove the differentiation rule given above, it is important to remember «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» and «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mstyle»«/math» are inverse functions. As such, one function undoes the other. If both are applied in succession, the result is the original input.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»ln«/mi»«mi»b«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Proof:
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»ln«/mi»«mi»b«/mi»«/mrow»«/msup»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»b«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mi»ln«/mi»«mi»b«/mi»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»b«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mi»ln«/mi»«mi»b«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
| To better understand this connection, start with «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
and convert it to logarithmic form.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«msub»«mi»log«/mi»«mi»e«/mi»«/msub»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»b«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
|
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»b«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«msup»«mi»b«/mi»«mi»u«/mi»«/msup»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»b«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/math»
Watch the video below for an example of finding the derivative of a function when the base is not «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»e«/mi»«/mstyle»«/math».Find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mi»ln«/mi»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mi»ln«/mi»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«mi»ln«/mi»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
| It is important to note «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is an exponential function. Its derivative cannot be found using the power rule. |
Differentiate «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Use the chain rule.
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«msup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/msup»«/mfenced»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«msup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/msup»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«msup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/msup»«/mfenced»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«msup»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/msup»«/mfenced»«mi»ln«/mi»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mstyle»«/math».
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