L4 Derivatives of Logarithmic Functions - Part 6
Completion requirements
Unit 6
Exponential and Logarithmic Functions
Lesson 4: Derivatives of Logarithmic Functions
Finding the derivative of a complicated function involving products, quotients, and powers can be made easier using logarithms. This method is called logarithmic differentiation.
Logarithmic Differentiation Steps:
Logarithmic Differentiation Steps:
- Take the natural logarithm of each side of the function.
- Differentiate implicitly with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
- Solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math».
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math»
| Note: Differentiating the given function using the product, quotient, and chain rules is possible. However, this becomes a fairly complex process, open to many potential errors. |
Step 1:
Take the natural logarithm of each side of the function.
Apply the laws of logarithms to the right side of the function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Apply the laws of logarithms to the right side of the function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Step 2:
Differentiate implicitly with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»9«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Step 3:
Solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mfenced»«msqrt»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/msqrt»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Find the derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».
Step 1:
Take the natural logarithm of each side of the function.
Apply the laws of logarithms to the right side of the function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Apply the laws of logarithms to the right side of the function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»ln«/mi»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mi»ln«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Step 2:
Differentiate implicitly with respect to «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mi»x«/mi»«/mstyle»«/math».
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
Step 3:
Solve for «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/math».
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math»
Substitute «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» into the derivative function.
«math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»y«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi
mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mstyle»«/math»
The derivative of «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mstyle»«/math» is «math style=¨font-family:Verdana¨ xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mstyle mathsize=¨14px¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/msup»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»12«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/mstyle»«/math».