L1 The Antiderivative - Practice 1
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 1: The Antiderivative
Practice
Once you feel confident with general antiderivatives, click on the Practice tab and complete problems 1 and 2. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Find the antiderivative of each of the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/math»
2.
Integrate the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
f.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
1.
Find the antiderivative of each of the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/math»
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»By«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»inspection«/mi»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»Using«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»the«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»Property«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left center right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»By«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»inspection«/mi»«mo»:«/mo»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»Using«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»the«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»Property«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«mtd/»«mtd»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd/»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
2.
Integrate the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
f.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
a.
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Apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mi»n«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced
open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
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