L1 The Antiderivative - Practice 2
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 1: The Antiderivative
Practice
Once you feel confident with families of curves, click on the Practice tab and complete problems 1 to 3. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Using various values for the constant «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math», sketch a family of curves for the general antiderivative of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
2.
Find the equation of the curve passing through the point «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» with a derivative function given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
3.
The slope of a curve is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/math». Find the equation of the curve passing through the point «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math».
1.
Using various values for the constant «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math», sketch a family of curves for the general antiderivative of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
The general antiderivative is as follows.
The graph below shows a family of curves with various «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math»-values. Each curve is the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/math» translated vertically «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math» units.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mn»1«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
The graph below shows a family of curves with various «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math»-values. Each curve is the graph of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«/math» translated vertically «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math» units.
2.
Find the equation of the curve passing through the point «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» with a derivative function given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/math».
Find the general antiderivative.
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» into the equation of the function, and evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math». The graph is shown below.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mn»1«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math» into the equation of the function, and evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mn»0«/mn»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math». The graph is shown below.
3.
The slope of a curve is given by «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/math». Find the equation of the curve passing through the point «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»,«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math».
The slope of a curve is the derivative of the function. So, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»m«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/math» can be written as «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/math».
Find the general antiderivative.
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math» into the equation of the function, and evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math».
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».
Find the general antiderivative.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msup»«mn»1«/mn»«/mfrac»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/math» into the equation of the function, and evaluate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«mn»6«/mn»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«/math».