Unit 7A

Integrals Part 1

Lesson 2: Basic Integration Properties and Techniques

Find the indefinite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

Start by applying Property 3.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
    
Now, apply Property 2.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Then, apply Property 4.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».

Recall finding the derivative of the final solution will produce the original function.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«/mrow»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Find the indefinite integral «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

Start by expanding the squared binomial.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»

Apply Property 3, then Property 2.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Then, apply Property 4.

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
        
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Integrate each of the following.

a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»

b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/math»

c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»

a.
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»,  apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» (from the Table of Integrals).

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

b.
To find the antiderivative of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«/math» apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» (from the Table of Integrals).

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»F«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

c.
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» (from the Table of Integrals).

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»cos«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»sin«/mi»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Watch the video The Indefinite Integral and Antiderivatives Part II for additional examples that use the Properties of Integrals.