L2 Basic Integration Properties and Techniques - Practice 1
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 2: Basic Integration Properties and Techniques
Practice
Once you feel confident with basic integration properties and techniques, click on the Practice tab and complete problems 1 and 2. Check your answers by going to the Solutions tab.
Instructions: Click the Download File button to download a printable PDF of the questions. Answer each of the following practice questions on a separate piece of paper. Step by step solutions are provided under the Solutions tab. You will learn the material more thoroughly if you complete the questions before checking the answers.
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1.
Find the indefinite integral for the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
f.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
2.
Integrate the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
1.
Find the indefinite integral for the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
f.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
To find the indefinite integral apply Property 4.
To find the indefinite integral apply Property 4.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»7«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/msup»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»8«/mn»«mn»15«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»15«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Distribute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» throughout the brackets, and apply Properties 2 and 3.
Apply Property 4 to find the antiderivative.
Distribute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math» throughout the brackets, and apply Properties 2 and 3.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Apply Property 4 to find the antiderivative.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mn»3«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mrow»«mn»5«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»4«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«mn»6«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» (from the Table of Integrals).
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» (from the Table of Integrals).
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»2«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»10«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»10«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mn»5«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mn»5«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»4«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
f.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»5«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
2.
Integrate the following.
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
a.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply Properties 2 and 3. Then, apply the properties «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply Properties 2 and 3. Then, apply the properties «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mfrac»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mi»sin«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mi»x«/mi»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mi»cos«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«mn»7«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»7«/mn»«/mfrac»«mi»cos«/mi»«mn»7«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
b.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply Properties 2 and 3. Then, apply the properties «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply Properties 2 and 3. Then, apply the properties «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»sec«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
c.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply Property 3. Then, apply the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» properties and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
To integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», apply Property 3. Then, apply the «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»tan«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math» properties and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»sec«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»tan«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
d.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Apply Property 3.
Simplify the second integral.
Apply Property 4 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Apply Property 3.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Simplify the second integral.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Apply Property 4 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»k«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mi»k«/mi»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»1«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mn»1«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfenced»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mn»1«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
e.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
Simplify the integrand (the function to be integrated) before integrating.
Apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Simplify the integrand (the function to be integrated) before integrating.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»cot«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»csc«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/menclose»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«msup»«mi»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/menclose»«mo»§#8729;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«menclose notation=¨updiagonalstrike¨»«mi»sin«/mi»«mi»x«/mi»«/menclose»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Apply Property 2 and the property «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»csc«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»cot«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»