L2 Basic Integration Properties and Techniques - Part 3
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 2: Basic Integration Properties and Techniques
The Comparison Technique
One problem solving technique is to compare the problem to be solved with a problem whose solution is known or can be readily obtained.The comparison technique, along with the chain rule, can be used to find the indefinite integral of more complex functions.
Recall the chain rule for powers is «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mi»n«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mi»n«/mi»«msup»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mrow»«mi»n«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/math».
Find the general antiderivative of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Assume the antiderivative of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/math»
is of the form «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/math», the two expressions can be compared.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi
mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»a«/mi»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»§#8729;«/mo»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»a«/mi»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Since «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mi»d«/mi»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mfenced open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»f«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/math», the two expressions can be compared.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi mathvariant=¨italic¨»a«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨italic¨»sin«/mi»«mn mathvariant=¨italic¨»3«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨italic¨»x«/mi»«mi
mathvariant=¨italic¨»cos«/mi»«mi mathvariant=¨italic¨»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mi»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»5«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»F«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»4«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»sin«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
If the question was «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», the solution would be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
As such, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» can be written in the form «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
If «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»
is the indefinite integral, then its derivative must be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/math».
Apply the chain rule.
Compare the two expressions and solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math».
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» into «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Differentiate using the power rule and the chain rule to check the solution.
Note that the derivative must be the same as the integrand. That is, the derivative must be the same as the function being integrated.
Apply the chain rule.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»a«/mi»«mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Compare the two expressions and solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»3«/mn»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«/math» into «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mn»2«/mn»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Differentiate using the power rule and the chain rule to check the solution.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»4«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mn»3«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«mi»x«/mi»«mo»§#8722;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Note that the derivative must be the same as the integrand. That is, the derivative must be the same as the function being integrated.
Integrate «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
If the integral was «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»7«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», the solution would be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
It is then reasonable to assume «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» can be written in the form «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mn»8«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
If «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mi»a«/mi»«mn»8«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»
is the indefinite integral of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math», then its derivative must be «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/math».
Apply the chain rule.
If «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/math», then «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/math».
As stated above, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/math».
Compare the two derivative expressions and solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math».
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math» into «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Differentiate using the power rule and the chain rule to check the solution.
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
Apply the chain rule.
If «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/math», then «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«mo»=«/mo»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mi»a«/mi»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mn»8«/mn»«/mfenced»«msup»«mfenced
open=¨[¨ close=¨]¨»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mi»f«/mi»«mo mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»(«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»)«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
As stated above, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/math».
Compare the two derivative expressions and solve for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»a«/mi»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»6«/mn»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»a«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»a«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/math» into «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»a«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mfenced»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mn»24«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Differentiate using the power rule and the chain rule to check the solution.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»y«/mi»«mo
mathvariant=¨italic¨»`«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mn»8«/mn»«/mfenced»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»6«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Therefore, «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»24«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math».