L2 Basic Integration Properties and Techniques - Part 5
Completion requirements
Unit 7A
Integrals Part 1
Lesson 2: Basic Integration Properties and Techniques
Watch the video Integration by Substitution – More Practice for additional examples on using this method.
This Lesson demonstrated basic techniques for integration. The two techniques introduced focus on reversing the power rule and the chain rule. Although both the comparison technique and integration by substitution are mathematically sound, integration
by substitution is the method more commonly used in higher level mathematics courses. Other techniques are needed to integrate more complex integrals; Lessons 6 and 7 will demonstrate some such techniques.
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Step 1:
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/math».
| Recall when choosing «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math», choose the expression such that when the derivative is taken, the result will be the other part of the integrand.
|
Step 2:
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» and rearrange for «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Step 3:
Substitute «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» and «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» into the integrand.
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mi»u«/mi»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»7«/mn»«/msup»«mi
mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Step 4:
Evaluate the integral in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mn»7«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
Step 5:
Replace «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«/math» in terms of «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»x«/mi»«/math».
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»7«/mn»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨»
«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»§#8722;«/mo»«mn»4«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mn»8«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»
Find «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».
Let «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»u«/mi»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msqrt»«mi»u«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨right center left¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/msqrt»«/mfrac»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«msqrt»«mi»u«/mi»«/msqrt»«/mfrac»«mo»§#8729;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»u«/mi»«mrow»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mi mathvariant=¨normal¨» «/mi»«mi»d«/mi»«mi»u«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«mfenced»«mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»u«/mi»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«mtd»«mo»=«/mo»«/mtd»«mtd»«mo»§#8722;«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»§#8722;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»
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